以根本建構主義的觀點來看國小數學的學思達~4.數學學習里程碑
要以兒童為師，就必須不斷地問自己
兒童學了，學了什麼？ 兒童會了，會了什麼？
簡單的概念進化模式：
Possibility
→ Necessity ( 或然性
→ 必然性)
說到學習的里程碑，這是用來描寫孩子的學習歷程，既然稱之為「碑」則它必然包含某些學習上的成就，是那麼與眾不同的，而稱之為「里程碑」則另外說明了學習歷程必然的順序性。
那數學學習的歷程碑是什麼呢？
經驗→察覺→瞭解 （by 甯平獻教授）
經驗→察覺→瞭解 （by 甯平獻教授）
網路上目前可以找到的描述不多，先取蔣治邦教授在【對「數與計算」教材編制的反思】http://wd.naer.edu.tw/study/219/09-2.htm
一文的描述為例。
「數學教育的目標在於使學童獲得數學物件的意義—意指教材項目所涉及的概念及其表徵形式，其中的數學概念，特指內蘊化的（interiorzed）解題活動類型（甯自強，民84a ）。學童使用已有的概念，嘗試進行具體解題活動，經驗內嵌於（embedded）問題中的新概念，累積同類概念的活動經驗，進一步地形成解題活動類型或察覺此數學概念；當能再進一步地使用其組成成份來說明解題活動類型的有效性，活動類型的成份是可回溯的（reversible）的運思時，則此數學概念已達瞭解階段，此內蘊化的結果，使得此數學概念成為新活動所操作的對象（黃敏晃，民83；甯自強，民82a ），經驗、察覺與瞭解階段的提升，是透過反思抽象（reflective
abstraction）達成的（甯自強，民84a ）。」
甯自強。民82a 。經驗、察覺及瞭解在課程中的意義－由根本建構主義的觀點來看。論文發表於國立台東師範學院八十一學年度國小數理科教育學術研討會。台東市。
甯自強。民84a 。五個區分對數與計算教材設計的影響。見周筱亭主編：八十三學年度國民小學新課程數學科研討會論文暨會議實錄專輯（頁63－90）。臺北縣：臺灣省國民學校教師研習會。
甯自強，民85。數學的格式與內容一皮亞傑對維高斯基。論文發表於85年臺北市立師院「皮亞傑及給高斯基的對話」百年校慶學術研討會。臺北市。
(目前找不到上述三篇的電子檔，所以先引用蔣教授的文章)
二、從注意力（attention）看數學學習環境
在本節中既然是談數學學習的里程碑，所以在談論之前，先對「數學學習環境」有所鋪陳。一個數學學習環境的核心源自於一個「數學問題或活動」，然而數學問題是多樣貌的，可能是計算題：1＋1＝□、填充題：12的因數有那些？文字題：把12個蘋果分給5個人，每人可以分到多少個？測量題：教室有多少平方公尺？或甚至是探究式的、主題式的、科展研究議題式的…。
「數學學習環境」另外一個相對的核心當然就是「解題」，解題之妙或難如人飲水，冷暖自知。一個數學問題的解法是多樣性的，也才會有所謂的「一題多解」，在小學解題方式的品質基本上可以分成兩類，有效果的（effective）解題方法和有效率的（efficient）解題方法，而這兩種類型的解題方式，很可能是不同年級時，該單元的主要教學目標。
「數學學習環境」最後一個核心是「邏輯」，採用了「因為…所以…」的方式建立了問題和解題之間的橋梁。上述三項「數學學習環境」的描述，可以同時區分兒童「注意力」的品質。
在一個數學課室教學中，被兒童所注意的卻未必是數學的，簡單把他分成幾個層次：
LV0-尚未進入學習：譬如，孩子拿圓規刺其他同學的屁股
LV0-前置情境：孩子進入情境，但考量的點未必是數學的，可能是文學…
LV1-1-從情境背景中，抽離出數學元素，具有體驗數學問題的經驗
LV1-2-具有體驗數學解題的經驗
LV2-具有體驗如何從問題中的條件推理到解題流程的經驗
三、經驗、察學、瞭解
（一）經驗
這裡所談的經驗，是指兒童「成功解題的經驗」，只不過這個成功的解題是偶然的；兒童以他現有的知識概念，透過猜測、實驗、不斷的嘗試，而在偶然的機緣之下成功。同時因為成功的正向回饋，在兒童的腦海中額外做了一項特別的註記。
當兒童有此類經驗時，兒童在下次遭遇到同類型（相似）數學問題時，兒童會有似曾相識的感覺，但真要兒童把作法寫出來，此時因為當初的成功是多元嘗試性的，所以兒童搞不清出當初解題的起始點或推理的程序；只不過，因為正向回饋的註記，當老師把作法寫出來時，兒童會說…「對啦!對啦!就是這樣」，也就是說，此時兒童對解法具備「辨識」的能力。
必須特別說明的是，兒童在數學課室中的學習未必是數學的，可能只是零散的訊息。在教學實務上，老師首先鋪陳相關的學習情境，接下來引入數學化活動（mathematize），協助兒童從情境背景中抽出數學元素。此時如何協助兒童以「舊有已知的概念」融入數學情境，並幫助孩子能有第一次的成功經驗是非常重要的；相對上，如果孩子的注意力孩只是停在LV1或甚至是LV0，那麼我們就很懷疑，他到底是上數學課嗎？
（二）察覺
在兒童的嘗試過程中，當成功的解題經驗一再的出現，此經驗將不斷地累積，而被歸為一個類型，既然成為類型，必有類型的判準，有了類型的判準，則兒童可以個穩定區分出問題情境中的條件，也能夠穩定呈現出解題的步驟，此能力我們稱為「再表現（represent）」。
當兒童能將同類型問題的解題步驟歸納成解題類型時，我們稱兒童能夠「察覺」，兒童在下次遭遇到同類型（相似）數學問題時，兒童能穩定的把解法一步驟一步驟寫出來，但當老師問他「為什麼？」時，兒童會…「反正…就是這樣啦!」，也就是說，此時兒童對解法具備「再表現」的能力，但因為解題類型是歸納出來的，對詳細推理的過程並未進一步釐清。
此時兒童的解題機制雖然也是邏輯性的「if 問題 then 解法」，但在辨識「問題」時，是整個一大包（package）的比對與比較，在再表現「解法」時，也是一大包的呼巄呼巄的寫出來，細節的部分並未進一步考量。
在教學現場中，通常，記憶力好的孩子，「察覺」的能力也很強，有了好的察覺能力，在小學四年級以前就能妥善的應付學校的考試，因為此階段大多數學校的考題都取自於課本、習作或平常考卷，很少有非例行題。上了高年級，一個問題中的「條件」開始變多，高年級老師也比較好於嘗試一些新的類型的問題，所以這些孩子的數學成績開始掉，生上國中…又是另一波的考驗。但在國中之前的考試，大多能利用「題海戰術」求得生存，靠著「強記」進入高中的孩子，還沒有聽過成功的，除非他開竅了；什麼是開竅呢？必須得他自己改變學習的習慣，開始注意解題過程中的細節，參考「瞭解」一節。
此階段的兒童尚且無法解釋「問題」與「解題」之間的必然性，所以稱這些兒童「知其然，而不知其所以然」。
（三）瞭解
要邁向瞭解有兩個契機，說明如下
其一：從「問題」的觀點來說
當兒童能察覺「問題A」，但在解決「問題B」時，卻將問題B視為問題A，在遇到挫折之後，開始去比對問題A和B的差異，從兩問題間的細部（detail）條件去思考，這是邁向瞭解的契機之一。
其二：從「解題」的觀點來說
當兒童能察覺「問題A」，但隨著解題流暢性的提升或解題的視野變廣，以致於兒童具備了一題多解的能力，此時孩子開始去思考解題的有效果性（effective）與有效率性（efficient），這是邁向瞭解的契機之二。
總之，當兒童能進一步使用其組成成份來說明解題活動類型的有效性時，當組成成份經過調整，兒童能夠隨機應變，而不至於僵化。當兒童的概念達到瞭解的階段時，可以稍微體會到「腦力的潛能」中，什麼叫做瞬息萬變或「快速推理」，也就是說，在短短1秒的時間內，可以瞬間進行無數次「if…then…」的推理，也因為這個能力，我們說瞭解的功能在於具備「預測」能力。
而瞭解之後的概念，他還具備另一個重要的功能，那就是可以做為下一個階段新活動所操作的具體素材或對象；而其相對的命題是，如果兒童尚未瞭解該概念就進入下一階段的學習時，會出現什麼情形呢？解答就是，因為無法具備「快速推理」的能力，所以必須一再的去翻閱複習之前的資料…
此階段的兒童能說明「問題」與「解題」之間的必然性，所以稱這些兒童「不僅能知其然，還知其所以然」。
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